高中联赛一试模拟题
文本内容
高中联赛一试模拟题
(时间: 80分钟 满分: 120)
一、(共8题，每题8分)
1. 不能表示为两个素数之和的大于 2的最小偶数是 _。
2. 能表示成 n² +1 (n ∈ Z) 形式的最大素数为 _。
3. 在平面上任给 n (n ≥ 2) 个点 A₁,A₂,...,Aₙ，其中任意两点间的距离不超过 1，则 max_{1≤i
10. (本题 20分) 对任意正整数 n，定义分段函数f(n)：当n为奇数时f(n)=3n+1，当n为偶数时f(n)=n/2，给定的正整数 n，试求最小的正整数 k，使得 f迭代k次后f^{(k)}(n) = 1。
11. (本题 20分) 记ζ(s) = ∑_{1}^{+∞} 1/n^s (s ∈ ℂ)，证明: ζ(s) 的零点除非负整数外，实部都是1/2。
整体描述
这是一张高中数学联赛一试模拟题的截图，试卷标注考试时间为80分钟，满分120分，内容分为两部分：第一部分为8道填空题，每题8分，题目涉及数论、平面几何、代数等高中数学竞赛知识点；第二部分为解答题，包含三道题目，分别为积分不等式证明题、考拉兹猜想（3n+1猜想）相关问题、黎曼猜想相关证明，整张图为纯文字的数学试题内容，排版清晰。
来源说明
根据提供的补充信息，这张图片来源于X.com（原Twitter）的用户hsn，内容是一份高中数学联赛一试的模拟试题，其中最后两道解答题分别对应著名的未解决数学猜想考拉兹猜想和黎曼猜想。
![这是一张包含高等代数习题的图片，围绕罗尔定理展开，共有三个问题，同时包含各问题的解答：
1. **第一问**：要求运用罗尔定理证明拉格朗日中值定理结论
证明：构造辅助函数$F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a)$，$F(x)$在$[a,b]$连续，$(a,b)$可导，且$F(a)=f(a)$，$F(b)=f(a)$，满足罗尔定理条件，故存在$x₀∈(a,b)$使得$F'(x₀)=0$，而$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，因此$f'(x₀)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，得证。
2. **第二问**：已知两个函数，在区间$(1,2)$内满足特定不等式，求参数$b$的取值范围
解答：$f(x)=x\ln x$在$(1,2)$上$f'(x)=\ln x+1>0$，单调递增。不等式等价于$|f'(x)|≥|g'(x)|$在$(1,2)$恒成立，$g'(x)=x-b$，即$\ln x+1≥|x-b|$，拆分为$x-(\ln x+1)≤b≤x+\ln x+1$。令$m(x)=x-\ln x-1$，在$(1,2)$单调递增，最大值为$1-\ln2$；令$n(x)=x+\ln x+1$，在$(1,2)$单调递增，最小值为$2$，故$b∈[1-\ln2,2]$。
3. **第三问**：证明关于$n$和$p$的不等式（$p>1,n≥2$）
证明：取$f(x)=\frac{1}{x^{p-1}}$，在$[n-1,n]$上用拉格朗日中值定理，存在$ξ∈(n-1,n)$，使得$\frac{1}{n^{p-1}}-\frac{1}{(n-1)^{p-1}}=-(p-1)\frac{1}{ξ^p}$，变形得$\frac{1}{(n-1)^{p-1}}-\frac{1}{n^{p-1}}=\frac{p-1}{ξ^p}$。因$ξ<n$，故$\frac{1}{ξ^p}>\frac{1}{n^p}$，代入得$\frac{1}{n^p}<\frac{1}{p-1}[\frac{1}{(n-1)^{p-1}}-\frac{1}{n^{p-1}}]$，得证。](https://gengtu.tos-accelerate.volces.com/memes/cf/65/85/c7/cf6585c7076369fae99a55f94674767c.png?x-tos-process=style/c)
