2021年高考数学真题 - 微生物繁殖概率问题解析
文本内容
1.(2021全国高考Ⅱ,21,12分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p_i(i=0,1,2,3).
(1)已知p_0=0.4,p_1=0.3,p_2=0.2,p_3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程p_0+p_1x+p_2x²+p_3x³=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
解析 (1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)证明:设f(x)=p_3x³+p_2x²+(p_1-1)x+p_0,由题易知p_3+p_2+p_1+p_0=1,
故f(x)=p_3x³+p_2x²-(p_0+p_2+p_3)x+p_0,
……(完整证明过程省略)……
综上,若E(X)≤1,则p=1;若E(X)>1,则p<1.
(3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝;若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.
整体描述
这是2021年全国高考数学Ⅱ卷的一道概率统计解答题,分值12分。题目以微生物繁殖为背景,共包含三个问题:计算繁殖个数的数学期望E(X);证明微生物灭绝概率p与期望E(X)的关系;解释结论的实际含义。图片中包含完整的题目表述和详细解答过程,涉及概率分布、数学期望、函数单调性、导数应用等知识点。
来源说明
该图片内容来自2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)数学科试题及官方参考答案。高考数学试题由教育部考试中心统一命制,是中国高中毕业生升入大学的重要选拔性考试内容。这类试题通常会在考试结束后通过教育部门官方渠道公布,并被各类教育机构用于教学研究和备考指导。
![这是一张包含高等代数习题的图片，围绕罗尔定理展开，共有三个问题，同时包含各问题的解答：
1. **第一问**：要求运用罗尔定理证明拉格朗日中值定理结论
证明：构造辅助函数$F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a)$，$F(x)$在$[a,b]$连续，$(a,b)$可导，且$F(a)=f(a)$，$F(b)=f(a)$，满足罗尔定理条件，故存在$x₀∈(a,b)$使得$F'(x₀)=0$，而$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，因此$f'(x₀)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，得证。
2. **第二问**：已知两个函数，在区间$(1,2)$内满足特定不等式，求参数$b$的取值范围
解答：$f(x)=x\ln x$在$(1,2)$上$f'(x)=\ln x+1>0$，单调递增。不等式等价于$|f'(x)|≥|g'(x)|$在$(1,2)$恒成立，$g'(x)=x-b$，即$\ln x+1≥|x-b|$，拆分为$x-(\ln x+1)≤b≤x+\ln x+1$。令$m(x)=x-\ln x-1$，在$(1,2)$单调递增，最大值为$1-\ln2$；令$n(x)=x+\ln x+1$，在$(1,2)$单调递增，最小值为$2$，故$b∈[1-\ln2,2]$。
3. **第三问**：证明关于$n$和$p$的不等式（$p>1,n≥2$）
证明：取$f(x)=\frac{1}{x^{p-1}}$，在$[n-1,n]$上用拉格朗日中值定理，存在$ξ∈(n-1,n)$，使得$\frac{1}{n^{p-1}}-\frac{1}{(n-1)^{p-1}}=-(p-1)\frac{1}{ξ^p}$，变形得$\frac{1}{(n-1)^{p-1}}-\frac{1}{n^{p-1}}=\frac{p-1}{ξ^p}$。因$ξ<n$，故$\frac{1}{ξ^p}>\frac{1}{n^p}$，代入得$\frac{1}{n^p}<\frac{1}{p-1}[\frac{1}{(n-1)^{p-1}}-\frac{1}{n^{p-1}}]$，得证。](https://gengtu.net/image/memes/cf/65/85/c7/cf6585c7076369fae99a55f94674767c.png/c)
