代数几何综合题：直线与圆交点的ab取值范围解题分析

这是一段数学解题视频的截图，展示了一道易出错的代数几何综合题的完整推导过程。题目为：若点(a,b)是直线x+y=1/m与圆x²+y²=2/m -1/m²的一个公共点，求ab的取值范围，正确答案为选项C[-1/4,4/9)。截图中详细呈现了解题步骤：先根据点在直线和圆上列出等式，通过代数变形得到ab的表达式为(1/m -1/2)² -1/4，再通过圆的方程有意义、直线与圆有交点这两个限制条件，推导出1/m的取值范围是0<1/m≤4/3，最终确定ab的取值范围。页面顶部是视频发布者“你是我的蔡文姬么”的账号信息，标注自己是北京师范大学地理系毕业的数学老师，目前处于失业状态；视频标题为“稍不留神便犯错：经典的代数几何综合题分析”，播放量为296次。

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文本内容

严选若点(a,b)是直线x+y=1/m与圆x²+y²=2/m -1/m²的一个公共点，则ab的取值范围是（C）
A.[-1/4,+∞)
B.[-1/4,2)
C.[-1/4,4/9)
D.[-1/4,3/4)
解：
a+b=1/m ①
a²+b²=2/m -1/m² ②
①²-②得
(a+b)²-(a²+b²)=1/m² -(2/m -1/m²)
2ab=2/m² -2/m
ab=1/m² -1/m=(1/m -1/2)² -1/4
确定1/m的范围即可
限制1：∵a²+b²=2/m -1/m²=1/m(2-1/m)≥0 ⇒ 0≤1/m≤2
限制2：直线与圆有交点，d≤r
d=|1/m|/√(1+1)=|1/m|/√2
r=√(2/m -1/m²)
d²≤r² ⇒ 1/(2m²) ≤2/m -1/m²
3/(2m²)-2/m ≤0 ⇒1/m(3/(2m)-2)≤0 ⇒0<1/m≤4/3

整体描述

这是一段数学解题视频的截图，展示了一道易出错的代数几何综合题的完整推导过程。题目为：若点(a,b)是直线x+y=1/m与圆x²+y²=2/m -1/m²的一个公共点，求ab的取值范围，正确答案为选项C[-1/4,4/9)。截图中详细呈现了解题步骤：先根据点在直线和圆上列出等式，通过代数变形得到ab的表达式为(1/m -1/2)² -1/4，再通过圆的方程有意义、直线与圆有交点这两个限制条件，推导出1/m的取值范围是0<1/m≤4/3，最终确定ab的取值范围。页面顶部是视频发布者“你是我的蔡文姬么”的账号信息，标注自己是北京师范大学地理系毕业的数学老师，目前处于失业状态；视频标题为“稍不留神便犯错：经典的代数几何综合题分析”，播放量为296次。