‘先人后己’‘为人民服务’对重积分学习的帮助

高等数学是高校理工科学生的必修课，重积分作为高等数学非常重要的一部分，其计算显得尤为重要。而重积分的计算在良好的定积分计算能力的基础上，关键在于积分区域的描述。《数学分析中的典型问题与方法》通过“穿入”“穿出”介绍了很好的方法，但学生作业中仍常出现积分变量顺序、边界曲线自变量选择的错误。为帮助学生解决这些问题，引入“先人后己”“为人民服务”的思想：
一、平面区域在直角坐标系下的描述
（一）D为x型区域
x型区域的特点：用直线x=x₀(a<x₀<b)穿过D的内部时，至多与D的边界曲线交于两点。x型区域，以x为“己”“公仆”，y为“他人”“人民”，“先人后己”即把y的范围写在前面，x的常数区间写在后面；“为人民服务”即描述上下曲线时以x为自变量，y为因变量。
D={(x,y)|y₁(x)≤y≤y₂(x),a≤x≤b}
若f(x,y)在x型区域D上连续，其中y₁(x),y₂(x)在[a,b]上连续，则
∬_D f(x,y)dσ=∫_a^b dx∫_y₁(x)^y₂(x) f(x,y)dy
（二）D为y型区域
y型区域的特点：用直线y=y₀(c<y₀<d)穿过D的内部时，至多与D的边界曲线交于两点。y型区域，以y为“己”“公仆”，x为“他人”“人民”，描述积分区域时，把y放在后面，积分后进行；边界曲线的方程要以y为自变量。
D={(x,y)|x₁(y)≤x≤x₂(y),c≤y≤d}
若f(x,y)在y型区域D上连续，其中x₁(y),x₂(y)在[c,d]上连续，则
∬_D f(x,y)dσ=∫_c^d dy∫_x₁(y)^x₂(x) f(x,y)dx
例1 将∬_D f(x,y)dσ写成累次积分，其中D是由直线x-y=2及抛物线y²=x所围成的闭区域。
解 如图1所示，积分区域既符合x型区域的特点又符合y型区域的特点。
1.将D视为x型区域。通过“穿入”“穿出”，可知积分区域的下曲线在x=1处分段，为此将D用x=1分为两部分，记D=D₁+D₂。
[摘要]针对重积分积分区域描述时遇到的问题，提出“先人后己”“为人民服务”的思想。运用这一思想描述积分区域时，学生能够恰当地写出积分变量的顺序以及边界曲线的方程，从而将重积分准确地转化为累次积分。
[关键词]先人后己；为人民服务；重积分；积分区域
[基金项目]鲁东大学校级教改项目(2019J40)
[作者简介]史英英(1980—)女,山西临汾人,硕士研究生,鲁东大学讲师,研究方向:应用数学。
[中图分类号]G642.0 [文献标识码]A [文章编号]1674-9324(2020)31-0348-03 [收稿日期]2020-01-09

这是一篇发表在《教育教学论坛》2020年第31期的教学研究论文，针对高校理工科高等数学中重积分学习时，学生常出现的积分变量顺序混淆、边界曲线自变量选择错误的问题，创新性地引入“先人后己”“为人民服务”的思想，分别讲解了直角坐标系下x型、y型积分区域的正确描述方法，通过明确“己”（后积分变量）和“人民”（先积分变量）的角色，帮助学生准确将重积分转化为累次积分，减少计算错误，为高等数学重积分教学提供了实用的指导方法。

该图片为《教育教学论坛》期刊2020年7月第31期的论文扫描件，期刊为正规教育类学术期刊，论文作者史英英等人来自鲁东大学等单位，收稿日期为2020年1月9日，属于原创性教学研究成果，旨在解决高等数学重积分教学中的学生常见错误问题。