333宿舍入睡时间算法编程题
文本内容
当然，一个宿舍中不一定所有同学都会在一起玩，这是因为其中几个人可能喜欢玩原神，而另外一些人喜欢玩明日方舟，还有一些人可能喜欢玩星穹铁道，因此每个人都会不同的倾向性，只会和某些同学一起玩。形式化地来说，宿舍中有m条倾向关系，可以用一条双向边来表示，只要被边连接的两人都还有剩余的体力，那么他们就会一起玩游戏来消耗体力。值得注意的是，这样的倾向关系具有传递性，也就是说如果A和B之间有倾向关系且B和C之间也有传递性，那么A和C之间也会有传递性，最终导致他们三人都会一起玩游戏。特别地，若B已经上床，那么这种倾向关系无法通过B进行传递，最终会导致A和C均选择独自打发时间。
然而，333宿舍最近出现了一个新的不安分因素，那就是新搬入的同学RZ，他的出现打破了原本宿舍中微妙的平衡与和谐，只因他是一位人生赢家，他不会和其他人一起打游戏，而是会自顾自地和Mandy打视频通话。同宿舍的同学们都纷纷破了防，尤其是他们发现当他们体力小于等于0并上床时，他们会被RZ的视频通话吵的无法入睡。具体地说，这n个同学都有各自的忍耐阈值v_i，若第i个同学在某一时刻开始时在床上躺着试图入睡，而RZ却仍然未结束视频通话，那么他将无法入睡，而是在这一时刻结束前积攒H的愤怒值。当他积攒的愤怒值超过了v_i时，他就会重新获得C的体力，并将愤怒值清零，然后继续想办法消耗自己的体力。特别地，如果在愤怒值超过v_i之前，RZ就结束了视频通话，那么他将立即入睡。
与此同时，tangle还发现，那就是包括RZ在内的同学均有一个生物钟固定的入睡时间t_i（t_{n+1}表示RZ的入睡时间），RZ将在t_{n+1}时刻开始时立即结束视频通话并立即入睡，而除了RZ外的第i个同学也不会在t_i时刻及之后再积攒愤怒值（但如果RZ还没结束视频通话那么他也仍然无法入睡）。
现在tangle非常好奇隔壁333宿舍的所有同学都入睡最早是在什么时刻？
Input
第一行包含四个整数n,m,H,C,(1 ≤ n,H,C ≤ 10^3,0 ≤ m ≤ min{\frac{n(n-1)}{2},3 × 10^3})。他们的含义同题目描述。
第二行包含n+1整数。第i个整数t_i(0 ≤ t_i ≤ 10^3)，表示第i个同学生物钟的入睡时刻，具体含义同题目描述。特别地，第n+1个整数t_{n+1}表示RZ将在t_{n+1}时刻开始时立即结束视频通话并立即入睡。
整体描述
这是一道设定在宿舍场景下的算法编程题，题目构建了包含原神、明日方舟、星穹铁道玩家的宿舍社交关系规则，加入新同学RZ的视频通话对其他同学入睡的影响机制，包括愤怒值积攒、忍耐阈值、体力恢复、生物钟入睡时间等复杂规则，最终要求计算宿舍所有同学都入睡的最早时刻，同时给出了输入数据的格式与范围说明。
来源说明
这是一张编程题扫描图，页面标注为Page 9 of 14，推测出自某编程竞赛题集或校内算法训练题目，这类题目通常会在在线编程平台（如洛谷、AcWing等）或线下编程竞赛中出现，用于考察参赛者的逻辑建模与算法实现能力。
![这是一张包含高等代数习题的图片，围绕罗尔定理展开，共有三个问题，同时包含各问题的解答：
1. **第一问**：要求运用罗尔定理证明拉格朗日中值定理结论
证明：构造辅助函数$F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a)$，$F(x)$在$[a,b]$连续，$(a,b)$可导，且$F(a)=f(a)$，$F(b)=f(a)$，满足罗尔定理条件，故存在$x₀∈(a,b)$使得$F'(x₀)=0$，而$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，因此$f'(x₀)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，得证。
2. **第二问**：已知两个函数，在区间$(1,2)$内满足特定不等式，求参数$b$的取值范围
解答：$f(x)=x\ln x$在$(1,2)$上$f'(x)=\ln x+1>0$，单调递增。不等式等价于$|f'(x)|≥|g'(x)|$在$(1,2)$恒成立，$g'(x)=x-b$，即$\ln x+1≥|x-b|$，拆分为$x-(\ln x+1)≤b≤x+\ln x+1$。令$m(x)=x-\ln x-1$，在$(1,2)$单调递增，最大值为$1-\ln2$；令$n(x)=x+\ln x+1$，在$(1,2)$单调递增，最小值为$2$，故$b∈[1-\ln2,2]$。
3. **第三问**：证明关于$n$和$p$的不等式（$p>1,n≥2$）
证明：取$f(x)=\frac{1}{x^{p-1}}$，在$[n-1,n]$上用拉格朗日中值定理，存在$ξ∈(n-1,n)$，使得$\frac{1}{n^{p-1}}-\frac{1}{(n-1)^{p-1}}=-(p-1)\frac{1}{ξ^p}$，变形得$\frac{1}{(n-1)^{p-1}}-\frac{1}{n^{p-1}}=\frac{p-1}{ξ^p}$。因$ξ<n$，故$\frac{1}{ξ^p}>\frac{1}{n^p}$，代入得$\frac{1}{n^p}<\frac{1}{p-1}[\frac{1}{(n-1)^{p-1}}-\frac{1}{n^{p-1}}]$，得证。](https://gengtu.tos-accelerate.volces.com/memes/cf/65/85/c7/cf6585c7076369fae99a55f94674767c.png?x-tos-process=style/c)
